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内容简介

本书比较全面地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法。全书共分11章，主要内容有：引论、计算方法的数学基础、MATLAB编程基础、方程求根、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、函数插值、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、矩阵特征值计算、函数优化计算。本书知识体系完整，既简要回顾了与计算方法有关的数学基础知识，又介绍了现代计算软件MATLAB，书中每个算法都配有结构化流程图，几乎所有算法都给出了MATLAB语言代码和MATLAB函数，部分算法给出了C语言代码，书后附有上机实验题目。可从华信教育资源网（www.hxedu.com.cn）免费下载的教学资源包括：电子教案、各章习题解答和模拟试题。

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ISBN：9787121366291

开本：16开

页数：332

字数：557.0

本书目录

第1章  引论	1
1.1  从数学到计算	1
1.2  误差理论初步	5
1.2.1  误差的来源	5
1.2.2  误差的度量	6
1.2.3  误差的传播	9
1.2.4  数值稳定性	11
1.3  数值计算的若干原则	12
1.3.1  避免两个相近数相减	12
1.3.2  避免用绝对值过小的数作为除数	13
1.3.3  要防止大数“吃掉”小数	13
1.3.4  简化计算步骤，提高计算效率	14
1.3.5  使用数值稳定的算法	15
本章小结	16
习题1	17
第2章  计算方法的数学基础	19
2.1  微积分的有关概念和定理	19
2.1.1  数列与函数的极限	19
2.1.2  连续函数的性质	21
2.1.3  罗尔定理和微分中值定理	21
2.1.4  积分加权平均值定理	22
2.1.5  权函数和函数的内积	23
2.1.6  正交函数系	23
2.1.7  勒让德多项式	25
2.2  微分方程的有关概念和定理	26
2.2.1  基本概念	26
2.2.2  初值问题解的存在唯一性	28
2.3  线性代数的有关概念和定理	28
2.3.1  线性相关和线性无关	28
2.3.2  方阵及其初等变换	30
2.3.3  线性方程组解的存在唯一性	32
2.3.4  特殊矩阵	33
2.3.5  方阵的逆及其运算性质	35
2.3.6  矩阵的特征值及其运算性质	36
2.3.7  对称正定矩阵	39
2.3.8  对角占优矩阵	40
2.3.9  向量的内积	41
2.3.10  向量、矩阵和连续函数的范数	41
2.3.11  向量序列与矩阵序列的极限	46
本章小结	47
习题2	47
第3章  MATLAB编程基础	49
3.1  MATLAB R2018b简介	49
3.2  MATLAB R2018b的工作环境	51
3.2.1  MATLAB R2018b的工具箱	51
3.2.2  MATLAB R2018b的命令行窗口	53
3.2.3  MATLAB R2018b的工作区	54
3.2.4  MATLAB R2018b的当前文件夹	54
3.3  MATLAB的变量、常量和数据类型	55
3.3.1  常量	55
3.3.2  变量	56
3.3.3  数据类型	56
3.4  MATLAB的数值运算	58
3.4.1  向量运算	58
3.4.2  矩阵运算	59
3.5  MATLAB的符号运算	64
3.5.1  字符串运算	64
3.5.2  符号表达式运算	65
3.5.3  符号矩阵运算	68
3.5.4  符号微积分运算	69
3.5.5  符号方程求解	71
3.6  MATLAB图形可视化	73
3.6.1  绘制二维图形	73
3.6.2  绘制三维图形	74
3.7  MATLAB程序设计	75
3.7.1  MATLAB程序的控制结构	75
3.7.2  MATLAB文件	78
3.7.3  MATLAB R2018b程序调试方法	78
本章小结	81
习题3	81
第4章  方程求根	83
4.1  引言	83
4.2  二分法	84
4.3  迭代法	87
4.3.1  不动点迭代	87
4.3.2  迭代法的收敛性	88
4.3.3  迭代法的改善	95
4.4  牛顿迭代法	96
4.4.1  牛顿迭代公式及其几何意义	96
4.4.2  牛顿迭代公式的收敛性	97
4.4.3  重根情形	101
4.5  弦截法	102
4.6  算法实现	103
4.6.1  MATLAB编程实现	103
4.6.2  MATLAB函数实现	106
本章小结	107
习题4	108
第5章  解线性方程组的直接法	110
5.1  引言	110
5.2  高斯消去法	111
5.2.1  顺序高斯消去法	111
5.2.2  主元素高斯消去法	115
5.2.3  高斯-约当消去法	117
5.3  矩阵三角分解法	119
5.3.1  高斯消去法与矩阵三角分解法	119
5.3.2  直接三角分解法	120
5.4  解三对角线性方程组的追赶法	124
5.5  误差分析	127
5.5.1  病态方程组与条件数	127
5.5.2  病态方程组的解法	130
5.6  算法实现	131
5.6.1  MATLAB编程实现	131
5.6.2  MATLAB函数实现	135
本章小结	137
习题5	137

第6章  解线性方程组的迭代法	139
6.1  引言	139
6.2  雅可比迭代法	141
6.3  高斯-塞德尔迭代法	142
6.4  迭代法的收敛性	144
6.5　算法实现	151
6.5.1　MATLAB编程实现	151
6.5.2　MATLAB函数实现	155
本章小结	156
习题6	156
第7章  函数插值	159
7.1  引言	159
7.1.1  插值问题	159
7.1.2  插值多项式的存在唯一性	160
7.2  拉格朗日插值	161
7.2.1  线性插值与抛物插值	161
7.2.2  拉格朗日插值	163
7.2.3  插值余项与误差估计	165
7.3  牛顿插值	169
7.4  埃尔米特插值	173
7.5  分段低次插值	175
7.5.1  高次插值与龙格现象	175
7.5.2  分段线性插值	176
7.5.3  分段三次埃尔米特插值	178
7.6  样条插值	180
7.6.1  三次样条插值函数	180
7.6.2  三次样条插值函数的求法	182
7.7  离散数据的曲线拟合	185
7.7.1  曲线拟合问题	185
7.7.2  多项式拟合	186
7.7.3  正交多项式拟合	188
7.8  算法实现	189
7.8.1  MATLAB编程实现	189
7.8.2  MATLAB函数实现	191
本章小结	195
习题7	195
第8章  数值积分与数值微分	199
8.1  引言	199
8.1.1  数值积分的必要性	199
8.1.2  数值积分的基本思想	200
8.1.3  代数精度	200
8.1.4  插值型求积公式	202
8.2  牛顿-柯特斯求积公式	204
8.2.1  牛顿-柯特斯求积公式的导出	204
8.2.2  牛顿-柯特斯求积公式的误差估计	207
8.3  复合求积公式	209
8.3.1  复合梯形求积公式	209
8.3.2  复合辛普生求积公式	210
8.4  外推算法与龙贝格算法	212
8.4.1  变步长的求积公式	212
8.4.2  外推算法	214
8.4.3  龙贝格求积公式	214
8.5  高斯求积公式	218
8.5.1  高斯点与高斯求积公式	218
8.5.2  高斯-勒让德求积公式	219
8.5.3  高斯求积公式的稳定性和收敛性	222
8.6  数值微分	223
8.6.1  中点公式	223
8.6.2  插值型微分公式	225
8.7  算法实现	227
8.7.1  MATLAB编程实现	227
8.7.2  MATLAB函数实现	230
本章小结	233
习题8	233
第9章  常微分方程初值问题的数值解法	237
9.1  引言	237
9.2  欧拉公式	238
9.2.1  欧拉公式及其意义	238
9.2.2  欧拉公式的变形	239
9.3  单步法的局部截断误差和方法的阶	242
9.4  龙格-库塔方法	245
9.4.1  龙格-库塔方法的基本思想	245
9.4.2  二阶龙格-库塔方法的推导	246
9.4.3  经典四阶龙格-库塔方法	249
9.5  单步法的收敛性和稳定性	251
9.5.1  单步法的收敛性	251
9.5.2  单步法的稳定性	254
9.6  算法实现	257
9.6.1  MATLAB编程实现	257
9.6.2  MATLAB函数实现	260
本章小结	263
习题9	264
第10章  矩阵特征值计算	266
10.1  引言	266
10.2  幂法及反幂法	268
10.2.1  幂法	268
10.2.2  反幂法	271
10.3  QR方法	272
10.3.1  反射变换	272
10.3.2  矩阵的QR分解	274
10.3.3  QR方法的实现	275
10.4  雅可比方法	276
10.4.1  平面旋转矩阵	276
10.4.2  雅可比方法及其改进	278
10.5  算法实现	280
10.5.1  MATLAB编程实现	280
10.5.2  MATLAB函数实现	286
本章小结	289
习题10	290
第11章  函数优化计算	291
11.1  引言	291
11.2  一元函数优化计算	292
11.2.1  牛顿法	292
11.2.2  拟牛顿法	294
11.2.3  黄金分割法	294
11.3  多元函数优化计算	296
11.3.1  多元函数有最优解的条件	296
11.3.2  多元函数数值求解的原则	297
11.3.3  梯度法	298
11.3.4  牛顿法	300
11.3.5  共轭方向法	301
11.4  算法实现	304
11.4.1  MATLAB编程实现	304
11.4.2  MATLAB函数实现	307
本章小结	309
习题11	309
附录A  计算方法实验	310
实验1  方程求根	311
实验2  解线性方程组的直接法	312
实验3  解三对角线性方程组的追赶法	313
实验4  解线性方程组的迭代法	314
实验5  函数插值问题	315
实验6  数值积分	316
实验7  数值微分	318
实验8  常微分方程初值问题的数值解法	319
实验9  矩阵特征值计算	320
实验10  函数优化计算	321
参考文献	323

展开

前言

第3版前言

《计算方法》于2005年出版，到现在已经10多年。10多年前写书的事，我至今难以忘怀。记得是2003年，电子工业出版社到山西大学进行图书展览活动，我和往常一样前去参加，但最终也并没有找到令我满意的书。这时，一位电子工业出版社的编辑过来和我交流，我便把我的情况给他做了说明。我说，我讲授“计算方法”已经有10余年，也没有发现一本令我满意的教材。当时大多数教材数学味太浓，理论太深，算法太少，而且没有程序，不太适合计算机专业的学生使用。我只能用我写的讲义教学，很不方便。这位编辑提出想看看我的讲义。我说，当然可以。就在我办公室里，他认真地把讲义看了好几遍，兴奋地对我说，这本讲义非常具有出版价值。于是，《计算方法》就面世了。
《计算方法》出版以后，受到了许多高等学校师生的好评，除计算机专业的学生使用外，一些非计算机专业的理工类本科生和研究生课程也纷纷使用此教材。为了适应这一新的需求，我经过深思熟虑，对《计算方法》进行了修订，于2013年出版了《计算方法》（第2版）。次年，该书就荣获2014年中国电子教育学会“全国电子信息类优秀教材”一等奖（获奖证书为：JC14007），当时参加评选的有来自全国67所高等学校和出版社推荐的教材120余种。
目前，国家积极推进信息化建设的进程，许多高等学校已经开设了数据科学与大数据技术专业，最近，教育部又批准了部分高等学校开设人工智能专业。为适应目前的新形势、新变化，我对《计算方法》（第2版）又做了较大修订。
《计算方法》（第3版）主要修订内容如下。
（1）保留了误差理论的主要内容，并做了部分修订。
（2）在第2章“计算方法的数学基础”中，增加了正交多项式的内容。
（3）增加了新的一章——第3章“MATLAB编程基础”，该章介绍了最新的MATLAB R2018b版的主要特点、工作环境和主要的数据类型，以及MATLAB的数值运算（包括向量和矩阵运算），MATLAB的符号运算（包括符号矩阵和符号微积分的运算），MATLAB的图形处理功能，MATLAB的程序控制结构和程序调试方法。
（4）在第7章“函数插值”中，增加了曲线拟合的内容。
（5）在第4～11章的后面，增加了“算法实现”一节，分别使用MATLAB程序实现和函数实现两种方法，针对各章中的实例，实现了各章介绍的算法。
（6）对计算方法的实验进行了重新编排，删除了曲线拟合实验，保留了10个典型的计算方法实验。实验包含实验目的、方法、内容、程序、结果和结果分析等内容。
（7）删除了第2版中的第7章“函数逼近”。
（8）删除了第2版中的第12章“MATLAB编程基础及其在计算方法中的应用”。
（9）删除了第2版中的11.3.6节“拟牛顿法”。
（10）对第2版中的部分习题做了调整。
（11）修正了第2版中的文字错误。
讲授全书内容，需要40～60学时，另外，实验需要16～20学时。
修订后的《计算方法》（第3版）组织更加严谨、内容更加丰富、知识更加新颖、使用更加方便。本书的内容分11章，包括：引论、计算方法的数学基础、MATLAB编程基础、方程求根、解线性方程组的直接法、解线性方程组的迭代法、函数插值、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法、矩阵特征值计算和函数优化计算。
本书的鲜明特点如下。
（1）知识结构完整。第2章计算方法的数学基础介绍了计算方法所需的微积分、微分方程和线性代数的数学知识，第3章MATLAB编程基础介绍了最新的MATLAB R2018b版的主要特点、工作环境、数据类型、运算和图形处理功能，以及程序控制结构和程序调试方法。只要本书在手，无须其他数学和MATLAB的任何资料。
（2）注重实践和应用。在第4～11章的“算法实现”一节中，分别使用MATLAB编程实现和函数实现两种方法，针对各章中的实例，实现了各章介绍的算法。这样编写的目的是既能引导读者理解算法并实现算法，又能让读者认识到MATLAB在计算方法领域中的强大功能。另外，本书的附录A中有精心设计的10个实验，供读者实践和练习。
（3）方便教学。全书每章都有学习要点、教学建议和本章小结，说明每章的重点、难点、选学内容和所需教学时数。书后附录A中的10个实验，可用于计算方法课程的实验环节。本书还配有电子教案、各章习题解答和模拟试题，供教师使用，可以登录华信教育资源网（www.hxedu.com.cn）注册后免费下载。
（4）便于自学。本书用通俗易懂的语言介绍每个算法的来龙去脉、基本思路和推导过程，并且主要算法均配有算法框图、源代码和测试例题供读者参考。这样编写就降低了自学难度，提高了自学的兴趣，强化了自学效果。
本书可作为高等学校计算机、数据科学与大数据、人工智能及电子信息类等相关专业本科和研究生的教材使用，也可供从事科学与工程计算的科技工作者和研究人员参考。
在《计算方法》一书的修订过程中，我得到了我的同仁和电子工业出版社的大力支持，在此一并表示感谢。这里还要特别感谢梁吉业教授对本书的长期关注和大力支持，感谢电子工业出版社编辑冉哲对本书修订出版所做的大量工作。
由于作者水平有限，书中难免有错误和疏漏之处，恳请读者指正。

李桂成       
 2019年5月于山西大学

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