图书简介:
目 录
第1章 函数 极限 连续 1
§1.1 函数:微积分的研究对象 1
1.1.1 悬链线 2
1.1.2 函数概念及其演变 3
1.1.3 函数的图象 4
1.1.4 黎曼猜想 5
1.1.5 问题探究:函数之美 6
1.1.6 e是所有数的老师 9
§1.2 数列的极限:微积分的奠基石 11
1.2.1 曲边梯形的面积 12
1.2.2 割圆人间细,方盖宇宙精 12
1.2.3 极限的定性和定量描述 14
1.2.4 问题探究:美是一切事物生成和发展的本质特征 18
§1.3 函数极限:微积分学的研究工具 22
1.3.1 连续复利与“e” 23
1.3.2 函数极限 25
1.3.3 两个重要极限 26
1.3.4 问题探究:极限之美 27
§1.4 无穷小量与无穷大量:无穷是数学的灵魂 30
1.4.1 无穷小量与无穷大量 31
1.4.2 极限的四则运算 32
1.4.3 渐进线的定义 33
1.4.4 无穷小量的比较 34
1.4.5 问题探索:整体之美 35
1.4.6 无穷的文学意境 36
§1.5 连续函数:连续的本质是极限 38
1.5.1 连续函数的概念 38
1.5.2 连续函数的局部形态 40
1.5.3 连续函数整体性态 41
1.5.4 问题探究:以美启智 43
第2章 导数与微分 45
§2.1 导数与微分:心灵思考入微的思想显微镜 45
2.1.1 数学的抽象性使它具有高度的概括性 46
2.1.2 导数思想:无穷小之比 47
2.1.3 导数与微分:差商的极限 47
2.1.4 微分的应用:近似计算 51
2.1.5 问题探究:美在运动 52
§2.2 微分法则:以少为美 55
2.2.1 求导复习 55
2.2.2 微分的四则法则 56
2.2.3 复合函数求导法则 56
2.2.4 反函数的导数 57
2.2.5 高阶导数 58
2.2.6 莱布尼茨公式 58
2.2.7 隐函数的导数 59
2.2.8 参数方程求导公式 59
2.2.9 数学符号的正确应用 60
2.2.10 相关变化率 60
2.2.11 问题探索:运动之美 61
第3章 微分中值定理及其应用 64
§3.1 微分中值定理:局部与整体沟通的桥梁 64
3.1.1 罗尔中值定理 65
3.1.2 拉格朗日定理 66
3.1.3 柯西中值定理 68
3.1.4 人物简介 69
3.1.5 问题探究:化归之美 70
§3.2 洛必达法则和泰勒公式:柯西中值定理的应用 72
3.2.1 泰勒公式:通过无限认识有限 72
3.2.2 洛必达法则 74
3.2.3 问题探究:最美公式 76
§3.3 微分学的应用:运筹帷幄中,决胜千里外 83
3.3.1 函数单调性、极值与最值:最小作用量原理 84
3.3.2 曲线的凹凸性及函数作图:一副图象胜过千言万语 87
3.3.3 问题探究:美就是真 90
第4章 不定积分 97
§4.1 不定积分:寻找原函数 97
4.1.1 不定积分的物理意义 97
4.1.2 不定积分 98
4.1.3 问题探究:进化之美 99
§4.2 积分法:化归有理 100
4.2.1 换元积分法 101
4.2.2 分部积分法 103
4.2.3 有理分式的积分 104
4.2.4 万能代换求三角有理函数积分 107
4.2.5 问题探究:奇异之美 107
第5章 定积分 109
§5.1 定积分:通过局部把握整体 109
5.1.1 曲边梯形的面积 110
5.1.2 定积分的概念 111
5.1.3 定积分的性质 112
5.1.4 定积分思想的人文价值 114
5.1.5 问题探究:对称之美 115
§5.2 微积分基本定理:局部和整体的完美结合 118
5.2.1 微积分基本定理的物理意义 118
5.2.2 微积分基本定理及其应用 119
5.2.3 积分变上限函数 121
5.2.4 问题探究:变换之美 122
5.2.5 自然科学家的偶像和样样皆通的大师 126
5.2.6 微积分传入中国之简史 129
5.2.7 简洁美的范例:广义斯托克斯公式 129
5.2.8 有限与无限 130
5.2.9 微积分之歌 130
附录A 数学学习方法 134
附录B 有限域Chebyshev公钥密码算法 136
附录C 人名索引 137
后记 143
参考资料 144
展开
21世纪的劳动者应该懂得微积分初步。
—[德]菲利克斯?克莱因(Felix Klein,1849—1925)/哥廷根学派创始人
微积分学,或者数学分析,是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学和人文科学之间的地位,使它成为高等教育的一种特别有效的工具。
—理查德?柯朗(Richard Courant,1888—1972)/美籍德国数学家、哥廷根学派重要成员
只有采取无穷小的观察单元—历史的微分,并运用积分的方法得到这些无穷小的总和,我们才能得到问题的答案—历史的规律。正是这门学问(微积分),纠正了人类由于只观察个别单元所不能不犯下的和无法避免的错误。
—列夫?尼古拉耶维奇?托尔斯泰(Lev Nikolayevich Tolstoy,1828—1910)/俄国思想家、现实主义文学的一坐丰碑
社会的进步就是人类对美的追求的结晶。
—卡尔?马克思(Karl Marx,1818—1883)/马克思主义创始人,国际共产主义的奠基者
导 言
沁园春—数学
数学风光,无限魅力,万千符号;望银河内外,奥秘茫茫,空间变幻,数浪滔滔,线舞银蛇,图驰蜡象,欲与珠穆朗玛峰试比高,须回味。
赏图装数裹,分外妖娆,数学如此多娇,引无数英才竞折腰,惜语文英语,略输严谨,科学社会,稍逊精巧,现代工具,手机电脑,只能遵其命令指标,俱往矣,数科目奇葩,数学首当!
(1)数学的应用:数学改变了我们看待宇宙的方式。
数学物理中的频谱分析概念与快速变换密切相关。傅里叶变换是一种积分变换,它来源于函数的傅里叶积分表示。令人吃惊的是,这一方法已被成功应用于文学研究。文学作品中的微量元素,即文学的“指纹”,就是文学的风格,其判断的主要方式是频谱分析。日本有两位著名作家—多正九和安本美典大量应用频谱分析来研究各种文学作品。最后研究到这种程度:随便拿一本书来,不讲明作者,也可以知道作者是谁。这就像法医根据指纹抓犯人一样,准确无误。
哲学与数学之间的交互影响是人类文化中最深刻的部分。数学家德穆林(Demollins,1869—1947)说的好:“没有数学,我们就无法看透哲学的深度;没有哲学,人们也无法看透数学的深度;若没有两者,人们就什么也看不透。”哲学为人类文明提供了理性精神,而对理性精神贯彻最彻底的是数学。例如,数学的无限、连续的概念,一出现便成为了哲学研究的对象。自古以来,唯物主义与唯心主义的斗争就贯穿于数学的全部历史,并且数学对逻辑的发展有着明显的作用。
万有引力的发现与证明。16世纪后期,天才的观察家,丹麦天文学家第谷?布拉赫(Tycho Brahe,1546—1601),对太阳系中的行星运动进行了长达20多年的观察,积累了大量的丰富的资料,为历法改革奠定了基础。其助手—天空的立法者—德国天文学家、物理学家和数学家约翰内斯?开普勒(Johannes Kepler,1571—1630)曾参与了一部分观察工作,并继承了他的全部数据,又进行了20年之久的研究,开普勒提出了行星运动的三个定律。这不禁使我们想起英国数学家、哲学家怀特海(Alfred North Whitehead,1861—1947)的名言:“物质未曾来到,精神先已出现”。
开普勒第一定律(椭圆定律):行星(运动方程的极坐标形式为 )绕太阳运行(公转)的轨道是椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点上,其椭圆极坐标方程为 。其中: , , ,两焦点的距离为 ;
开普勒第二定律(面积定律):向径的面积速度是常数,即从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过相同的面积,即面积速度 (常数)。其中,椭圆面积为 ;
开普勒第三定律(调和定律):椭圆轨迹的长轴的立方与其公转周期的平方之间的比值是和行星无关的常数,即 。
1687年,艾萨克?牛顿(Issac Newton,1642—1727)用微积分等工具由开普勒定律得到万有引力定律。根据牛顿第二定律及 ,行星运动方程的极坐标形式为 , ,其中 ;再根据 及 ,得到 (常数),即 ,这就是说:行星所受的力指向太阳,它的大小与行星的质量成正比,与行星到太阳的距离的平方成反比。牛顿正是从这些结论出发,通过进一步的思考,总结出著名的万有引力定律的。从万有引力定律推导开普勒第三定律见例5-2-16。
万有引力定律成功预言了海王星的存在。对木星和土星的轨道的推算结果和实测不符,而天王星存在着不可忽略的差异,“是否存在一颗尚未发现的行星干扰着天王星的运行呢?”1843年,英国剑桥大学22岁的学生亚当斯(J. C. Adams,1819—1892)根据力学原则,利用微积分等数学工具,算出了未知行星的位置。比亚当斯稍晚,法国巴黎天文台青年数学家勒维列(U. J. J. Leverrie,1811—1877)于1845年解出了由几十个方程组成的方程组,并于1846年算出了新行星的轨道。海王星被发现了,这是人类最早用笔头算出的行星,这个发现是数学计算的胜利,并产生了很大的影响。
(2)数学与素质教育:从心所欲,不逾矩。
数学不仅是一种工具,还是一种思维模式;不仅是一种知识,还是一种素养;不仅是一种科学,还是一种文化,能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养创新人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。
中国古代思想家孔子(Confucius,公元前551—公元前479)讲的“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”,就是说教育的目的就是自发、自觉和创造。孔子到了七十岁总结了一生在学问方面的成就,是“从心所欲,不逾矩”。我们可以用这句话来概括中西教育之结合,“从心”就是创造力的启发,“不逾矩”就是严密的基础训练。
哈佛大学于1636年建立,当时没有一个数学教授;1726年,哈佛大学任命了第一位数学教授。当时的入学考试只考算术,1820年,要求考代数;1844年,要求考几何。1971年2月,美国卡尔?多伊奇等人在《科学》上发表了一项研究报告,列举了1900—1965年间在世界范围内社会科学方面的63项重大成就,其中数学化的定量研究占三分之二,而这些定量研究中的六分之五是1930年以后做出的。美国著名社会学家贝尔(Daniel Bell,1919—2011)在《第二次世界大战以来的社会科学》一书中就指出:社会科学正在变成像自然科学一样的硬科学 。
数学已经拓展到每一个科学领域,并且在生物学、物理学、化学、经济学、社会学和工程学,甚至是任何一个涉及速度或温度变化量的领域中,扮演着无法替代的角色。美国科普鬼才克利福德?皮寇弗(Clifford A. Pickover)曾说:“对我而言,不论是心智的特质、思想的极限,或者是人类相对于浩瀚宇宙所处的环境,都可以用数学来发掘其中永无止境的惊奇奥秘。”
(3)数学、物理及计算机:学好数理化,干啥都可以。
1957年前苏联人造卫星发射成功,震惊了美国,美国从官方到民间都在检查落后的原因,最终得出的结论是数学教育落后于前苏联。20世纪所有的重大发明中,计算机的发明应该排在首要位置,现代有记忆功能的计算机在1946年诞生于美国,其设计者冯?诺伊曼(John von Neumann,1903—1957)就是一位搞基础数学的美藉匈牙利数学家,著名北大方正的创始人、中国计算机专家王选(Wang Xuan,1937—2006)教授也毕业于数学系。计算机和计算机科学技术的出现,在理论推导和科学实验两大传统手段外,又增添了人类发展科学的新手段,即所谓的“计算”手段。
学好数学物理到底有什么用?我们的回答就是数学与物理学结合的一大杰作是电子数字计算机,计算机使得物理学实现了数学提供的计算原理。数学、物理及计算机是每个公民科学思维训练所必需的:数学训练逻辑思维、物理训练实证思维、计算机训练计算思维。学好了数学、物理及计算机,干什么都可以。
(4)数学发展简史:从“李约瑟难题”到“陈省身猜想”。
英国哲学家弗朗西斯?培根(Francis Bacon,1561—1626)曾说“读史使人明智”。数学史大致可以分为五个不同的时期,精确地区分这些阶段是不可能的,因为每一个阶段的本质特征都是在前一阶段中酝酿形成的。
第一时期称为数学形成时期,人类从数数开始逐渐地建立了自然数的概念、简单的计数算法,并认识了简单的几何图形,逐渐形成了理论与证明之间的逻辑关系的“纯粹”数学。
第二时期为初等数学,即常数数学时期,从公元前5世纪—17世纪,逐渐形成了初等数学的主要分支:算术、代数、几何、三角。
第三时期称为变量数学的时期,变量数学的第一个决定性步骤出现在1637年法国哲学家、数学家、物理学家的勒内?笛卡儿(Rene' Descartes,1596—1650)著作《几何学》中,弗里德里希?恩格斯(Friedrich Engels,1820—1895)指出:“数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要了 ……”变量数学的第二个决定性步骤是自然科学家的偶像牛顿和样样皆通的大师莱布尼茨于17世纪后半叶分别独立建立了微积分。
第四个时期是现代数学时期,以及所有基础部门—代数、几何和分析—深刻变化为特征。代数的解放是由四元数的诞生引起的;几何学的解放是由欧氏几何的第五公式引起的;分析的严密化是由第二次数学危机引起的。19世纪初,数学发生了质的变化,开始了从变量向公理化数学的过渡,如没有非欧几何学,就不会有20世纪最伟大的科学家、思想家阿尔伯特?爱因斯坦(Albert Einstein,1879—1955)的相对论。
第五个时期就是信息数学时期。计算机的诞生和广泛使用使数学进入了一个新的时代。几乎同时,信息论和控制论也诞生了,数学迎来了一个新的高潮。信息论的创始人克劳德?香农(Claude Shannon,1916—2001)提醒人们,信息论的核心就是数学。物理学家约翰?阿奇博尔德?惠勒(John Archibald Wheeler,1911—2008)曾用了一句颇具神谕意味的、由单音节词组成的句子加以概括:“万物源自比特(It from Bit)”,“任何事物—任何粒子、任何力场,甚至时空连续本身都源于信息”。
中国2000余年的数学发展史,可概括为从“李约瑟难题”到“陈省身猜想”的演变史。李约瑟(Joseph Needham,1900—1995)是英国著名科学史家、生物化学家,他坚定地认为蒸气机的发明来源于中国四川的水排:中国传统数学为什么在宋元以后没有得到发展?中国传统数学为什么没有发展为近代数学?为什么近代自然科学不是发生在中国古代或中古代而是发生在伽利略时代的欧洲?“陈省身猜想”:中国数学可望在21世纪率先赶上世界先进水平。
高级的数学未必难,低级的数学未必容易。数学培养人的耐性,更能发挥人的思考力和创造力。关于数学的特点,一般采用前苏联的亚历山德罗夫(A. D. Aleksandrov,1896—1982)的“三性”提法:抽象性、严谨性、广泛应用性。
(5)微积分发展的三个阶段:微积分是一种震撼心灵的智力奋斗的结晶。
微积分从酝酿到萌芽,到建立、发展、完善,是凝结着两千多年来无数数学家的心血才谱写完成的。现代社会正是从微积分的诞生开始的。
① 牛顿、莱布尼茨创立微积分阶段。
近代科学奠基人牛顿是英国数学家和物理学家,17世纪科学革命的顶峰人物,他提出了近代物理学基础的力学三大定理和万有引力定律;他关于白光有色光组成的发现为物理光学奠定了基础。牛顿从运动学观点发现(约1665年)微积分,此发现源于他对无穷级数的兴趣,不过他发表的时间较晚。他的《自然哲学的数学原理》是近代科学史上最重要的著作。英国博物学家赫胥黎(Thomas Henry Huxley,1825—1895)对牛顿的评价是“作为凡人无甚可取;作为巨人无以伦比”。
德国数学家、哲学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646—1716),从几何学的角度创建了微积分,他早在1684年就先发表了自己对于微分的见解,随后又在1686年发表了积分的论述。莱布尼茨终生奋斗目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法,正是这种努力导致了许多数学的发现,最突出的是微积分。
② 数学分析的奠基人—法国数学家柯西、德国几何学家黎曼(Riemann,1826—1866)、大器晚成的德国数学家卡尔?魏尔斯特拉斯[Karl Weierstrass,1815—1897,培养出历史上第一位女数学博士,即俄罗斯数学家柯瓦列夫斯卡娅(Sofia kovalevskaya,1850—1891)],即以他们为代表的创立现代体系微积分的阶段。我们可以用微积分解释彩虹的结构,也可以用来在股市中赚得更多金钱,或是用微积分来说明人类的大脑结构,替航天飞机导航、进行天气预报、预测人口增长、设计建筑物和分析疾病的扩散,更可以帮助人们探索比原子还小的量子世界、描绘遥不可及的银河系。
③ 建立外微分形式阶段。只有用了外微分形式,才能真正说清楚微分与积分在高维空间中是一对矛盾,即广义斯托克斯(George Gabriel Stokes,1819—1903,英国数学物理学家)公式(见5.2.7): 。同时利用Poincare'引理,从外微分观点看,在三维空间中只能有梯度、旋度与散度这三个度 。
(6)微积分的数学结构:广义斯托克斯公式。
微分、积分及指出微分与积分是一对矛盾的微积分基本定理,在微积分中,微分与积分是一对主要矛盾;除此之外,还有其他次要矛盾,也起着重要作用。例如,离散与连续、局部与整体、有限与无限、数与形等。
原则上讲,微分中的一条定理或公式,在积分中也应有相应的定理或公式,反之亦然,即它们之间是一一对应的。
微积分的数学结构可概括为一个对象、二个极限、三个关系。
一个对象:函数(三个初等函数,即幂函数及其反函数、三角函数及其反函数、指数函数及其反函数,在复变函数论的观点下,它们可相互表达)。
二个极限:函数极限和定积分极限。
三个关系:牛顿-莱布尼茨公式(1维、2维和3维)。其统一形式就是广义斯托克斯公式(见5.2.7)。本书重点讲解1维的微积分基本定理。
(7)微积分与其他数学课程的关系:微分搭台,方程唱戏。
从微积分的角度来看其他数学课程,也许有利于了解微积分在整个大学数学课程中的地位,这里仅列举四门数学课程。
① 复变函数论是复数域上的微积分。从柯西算起,复变函数论已有160多年的历史。它以完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分;它曾经推动过一些学科的发展,并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中。
② 实变函数论是普通微积分的深化与拓展。在普通微积分学中,主要从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数(包括函数序列的极限函数)。如果说普通微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数(如往往假设函数连续或具有有限个间断点),那么实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数,包括从普通微积分学来看性质“不好”的函数。实变函数论不仅应用广泛,是某些数学分支的基本工具,而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用,对构成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要的分支有着极为重要的影响。
③ 微分方程的研究与发展是以微积分为基础的。微分方程是常微分方程和偏微分方程(也称数学物理方程)的总称。含自变量、未知函数和它的微商(或偏微商)的方程称为常(或偏)微分方程。它几乎和微积分同时产生,并随实际需要而发展。微积分的产生,部分原因是当时研究天体运行规律的推动,而这些规律实际上只有用微分方程才能表达清楚。由于微分方程在天文、物理、力学、几何以及大量众多学科中大显神通,更充分显示了微积分的基础性与重要性。量子力学中的数学模型仍然是微分方程,詹姆斯?麦克斯韦(James Maxwell,1831—1879)方程为我们人类的文明社会唱出了千百首不朽的颂歌。英国科学家阿兰?图灵(Alan Turing,1912—1954)曾说:“科学是微分方程,宗教是边界条件”。
④ 微分几何学是微积分在几何上的应用,或者说,是用微积分作为工具来研究几何。其主要研究欧氏空间中的曲线和曲面的几何性质,其核心思想就是可以单从导数所得到的局部信息,获得整个曲面的全盘面貌,可这样说,微积分诞生时,就诞生了微分几何。现代微分几何学所研究的对象是微分的流形,其上还配有附加的结构,具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用。数学大师陈省身(丘成桐的导师)曾说物理就是几何,如爱因斯坦的广义相对论方程的左端是几何量—曲率,右端是物理量—能量—应力张量。物理学家惠勒曾如此解释爱因斯坦的引力图象:“物质告诉空间怎么弯曲,空间告诉物质怎么移动”。
(8)微积分的重要性:没有微积分,就没有现代化。
恩格斯说:“数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。”英国哲学家培根曾说:“数学是通向科学大门的钥匙。”美国哲学家亨利?戴维?梭罗(Henry David Thoreau,1817—1862)曾讲:“有关真理最明晰、最美丽的陈述,最终必以数学形式展现。”引力的思想早已有之,但只有当牛顿用精确的数学公式表达时,才成为科学中最著名的万有引力定律。数学真正成为系统化的科学开始于欧几里得(Euclid of Alexandria,约公元前330—公元前275)的《几何原本》。数学史学家希斯(Thomas Heath,1861—1940)称《几何原本》为“史上最伟大的数学教科书”。女诗人圣文森米莱(Edna St. Vincent Millay)则写到:“只有欧几里得看得见最纯粹的美。”欧几里得建立平面几何学的定理都只源于5个简单的公理或公式。从欧氏几何我们晓得,成熟而美丽的数学命题必定能够用简单的语言来叙述,这是一个审美很重要的概念,影响到两千年来我们对数学命题最简单审美的主要开辟点。这种思想方法不仅培养了数学家,也有助于提高全人民的科学文化素质,它是人类巨大的精神财富。
没有信息安全,就没有国家安全;没有信息化,就没有现代化。21世纪是以网络为核心的信息时代,其重要特征是数字化、网络化和信息化。信息已成为社会发展的重要战略资源,社会的信息化已成为当今世界发展的潮流和核心,而信息安全在信息社会中扮演着极为重要的角色,它直接关系到国家安全、企业经营及人们的日常生活。信息安全是计算机、通信工程、数学等领域的交叉学科。
从数学结构来说,代数、分析、几何是数学的三要素,它们互相渗透、化合、生发出数学的绚烂篇章。在信息时代,概率论、数理统计及随机过程和离散数学(如初等数论、组合数学、有限域等)等,在计算机科学、通信工程、网络安全、代数编码等许多领域得到日益广泛的实际应用。例如,对素数的研究以往认为很少有实用价值,却不料它在密码学中受到重用。1995年,英国数学家安德鲁?怀尔斯(Andrew John Wiles,1953—)解决了一个358年前很出名的问题,叫做费马大定理。这个证明比定理本身重要得多,他利用模形式跟和圆曲线的理论来做费马定理的研究,这个证明的研究可以讲是动人心魄的。它的证明的伟大地方是使我们对椭圆曲线有了极深入的了解,而椭圆曲线在密码理论方面产生了很大的突破,如椭圆曲线是公钥密码体制的重要基础。
“高技术本质上是一种数学技术”,这种观点已为越来越多的人所接受。今天,一位不懂数学的经济学家绝不会成为杰出的经济学家。1969—1981年间颁发的13个诺贝尔经济学奖中,有7个获奖人是学数学的。“高新技术的基础是应用科学,而应用科学的基础是数学。”这句话已把数学对高新技术和国富民强的作用,清楚地表达出来。当代科技的一个突出特点是定量化,精确定量思维是对当代科技人员共同的要求。所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题,抽象化为数学模型,用数学计算求出此模型的解或近似解,然后回到现实中进行检验,必要时修改模型使之更切合实际,最后编制解题的软件包,以便得到更广泛的应用。应当强调的是,数学模型处于所有数学应用的心脏。
微积分乃是一种震撼心灵的智力奋斗的结晶。微积分从酝酿到萌芽,到建立、发展、完善,是凝结着两千多年来无数数学家的心血才谱写完成的,可以说是美的交响乐。熟悉这一学科的历史发展,了解人类的这有一巨大的积累过程和历史数学家的艰苦卓绝的奋斗精神,对于陶冶一个人的数学情操,提高自身的数学素养和思维能力,都具有十分重要意义。
科学之基础就是微积分,成功的微积分教学对学生成才是至关重要的。因为微积分使学生不仅仅能得到一颗颗珍珠,更能使他们得到一串串珍珠,而将这些珍珠串起来的基线,就是微积分。这门课程的主要矛盾是微分和积分。
(9)微积分之美:科技的进步就是人类对微积分之美追求的结晶。
作为人类文化一部分的数学,它不仅具有科学性,也具有艺术性。英国哲学家、数学家罗素(Russell,1892—1970)说:“数学,如果正确地看,不但拥有真理,而且具有至高无上的美。”数学的美主要在于它的抽象性、简洁性、对称性和奇异性,数学的美还表现在内部的和谐和统一。最基本的数学美是简单美、和谐美、对称美和原创美,它应该且能够被我们理解和欣赏。怎么培养数学的美感呢?阅读大师们的著作和欣赏微积分之美是一个有效的途径。
微积分之美,集多年教学激情体验,探索微积分的数学艺术,培养莘莘学子对数学崇高的敬意,提升他们的创新创业能力,深入科技最新发展前沿,跟随用微积分改变我们看待宇宙方式的数学之旅。其主要特点有以下3个。
第一,培养学生的数学精神和审美情趣,树立“终身学习观念”;贯彻“讲思考、讲猜想、讲应用、讲来龙去脉”的原则,介绍微积分两千余年数学发展简史,鼓励学生为中华民族伟大复兴而发奋学习、成长成才。
第二,讲清“微分与积分”这一主要矛盾的对立与统一,进行辩证唯物主义教育;结合微积分在密码学、物理学、生物学、经济学等领域的应用,使学生较好地掌握数学模型和数学思想。
第三,使学生坚信数学中有美、美中有数学;使学生相信数学与诗一样,都充满了灵感、充满了智慧、充满了创造、充满了激情、充满了和谐、充满了挑战,更充满了人类的精神力量。
(10)赞数学美:数理美世界。
雅致统一奇异变①,空谷幽兰冰雪莲②。
神奇推理诗般意,数学艺术本相连③ 。
[评注] ① 数学美的基本内容是原创、简单、对称、和谐、雅致、统一、奇异、突变。
② 中国散文家诗人徐迟(Xu Chi,1914—1996)在报告文学《歌德巴赫猜想》中赞美数学定理、理论犹如空谷幽兰、冰山上的雪莲、老林中的人参等。
③ 数学是一门科学,也是一门艺术。控制论创始人、数学家诺伯特?维纳(Norbert Wiener,1894—1964)甚至说“数学是一门精美的艺术”。
数学与现实世界的关系,套用文艺界的术语,看来应该是源于生活、高于生活。2014年11月28日,在北京电子科技学院举办的第四届“美理?艺数”数理文化节主题晚会上,演唱了原创歌曲《数理美世界》[词曲作者为张旭(20133208);演唱者为成容(20133134)、赵凯铭(20143236)、周旭(20143235)、许佳雯(20143125)。]。
数理美世界
晚霞是夕阳的纱衣,梦想是岁月的奇迹。
数学为他增添阶梯,指引我们去追求成功。
青春因奋斗而美丽,汗水为其添光辉。
数学像那不眠的忍者,不断挑战大海的汹涌。
美理艺数,跃动的符,构成一个多彩的世界。
追求梦想,不断追寻,我们共同创造一个奇迹。
美理艺数,跃动的符,构成一个缤纷的世界。
前人未做,我们去完成,去创造,去宣扬,数理美世界。
展开