译  者  序
数字信号处理是推动真实世界的模拟域与信息处理的数字域相切合的重要技术领域，而采样理论则是数字信号处理领域的核心技术基础。从理论上分析，在通常的带限信号的采样处理过程中，我们可以利用经典的采样理论——基本的香农奈奎斯特采样定理来获取信息及恢复信号。但是，这是一种理论上的理想场景，通常的现实世界的信号处理过程将存在很多的实际问题和困难。比如，实际过程中，当信号具有较大带宽时，经典采样理论需要使用较高的采样率来恢复信号，这在实际的硬件设备中，可能是不可实现的；再如，在采样过程中存在的非线性失真问题以及理想的理论采样冲激函数在实际中的不可实现性。这都将让“理想”与“现实”背道而驰，迫切需要发展新理论并结合新思想来更好地解决信息处理过程中面临的实际问题。
译者在对本书进行翻译的过程中感触和收获颇多，重新回顾并深入而系统地再次学习了信号处理的全方位知识，在本书中将基本的香农奈奎斯特采样定理进行了扩展。本书不仅涵盖了信号处理领域完备的基本理论及基础知识，同时，重点介绍了目前学术界和业界均较为关注的欠奈奎斯特采样和压缩感知理论的基本理论、原理及应用。最重要的是，本书可以从工程实践的角度为采样理论从理论到工程实践提供全面的指导及全面的解决方案。
本书分为三个部分，首先，全面阐述了线性代数、傅里叶分析和结合采样计算的各种代表性信号；其次，详细介绍了子空间和光滑先验的采样，包括非线性采样和采样率变换等基础知识；最后，讨论了联合子空间的采样，基于希尔伯特空间且在一个统一的框架上通过目前新兴的压缩感知技术来扩展传统采样理论，包括压缩感知领域和欠奈奎斯特采样的理论应用的详细介绍。本书重点强调和突出的是信号处理相关基础理论在电子信息类学科中的需求和应用，同时对于涉及工程实践的硬件设计的考虑更是贯穿始终，这也是本书的另一大特色。
随着目前万物互联网络的迫切需求，为了满足物联网中的智能器件的互联和信息的采集和处理需求，这将需要更复杂和更有效的数字信号处理系统及相关技术的融合发展。同时，未来技术发展对于解决大规模的采样问题的需求则更为迫切。经典的信号处理技术、采样理论及新兴的压缩感知理论的结合也将为采样理论提供一个新的发展视角，以及一个更好地利用信号自由度的方法。随着未来的工业需求及数字信号处理领域的发展，我们将可以预见，建立完整的数学模型及系统结构和体系是必要条件，而该技术的硬件实现的可行性将成为制约某项技术发展的瓶颈，基础理论的新研究成果需满足实际应用的需求，同时本书中涉及的基础理论的创新将对业界和市场产生深远的影响。
本书由哈尔滨工业大学电子与信息工程学院的贾敏副研究员和顾学迈教授共同翻译完成。译者在本书的翻译过程中花费了大量的时间并投入了巨大的心血。首先，特别感谢原书作者对本书在前期翻译工作的指导和支持；其次，感谢哈尔滨工业大学电子与信息工程学院和通信技术研究所1105卫星通信实验室给译者提供的良好平台和工作条件，才得以使本书顺利问世；最后，非常感谢译者的家人、朋友、同事给予的关怀、支持和帮助！
前言
数字信号处理（DSP）是工程领域中最具代表性的领域之一，包含很多子领域，如语音和图像处理、统计数据处理、频谱估计、生物医学应用及其他很多领域。顾名思义，DSP即在数字域对各种信号进行处理（如滤波、放大等），与模拟信号处理相比，数字域使得设计、验证和实现等环节变得非常简单。DSP作为很多技术领域的基础，是20世纪促进科学和工程发展最强大的技术之一。
为了能在计算机上表示和处理模拟信号，模拟信号必须通过模数转换器（ADC）进行采样，转变成数字序列。处理完成后，采样信号通过数模转换器（DAC）转变成模拟信号。由此可见，采样理论及其应用是DSP的核心。因此，在ADC和DAC上任何技术的进步都会对其产生巨大影响。
本书的目标是从工程的角度出发，系统地介绍采样理论及其应用。尽管在信号扩展和谐波分析方面，有很多优秀的数学教材，但是我们把采样基础理论和实际工程应用及原理结合起来，目的是提供最新的工程应用教材。本书大部分章节用于介绍压缩感知和欠奈奎斯特采样这些较新的领域，这在标准的线性代数或谐波分析等书籍中并未涉及。本书自始至终都专注于阐述信号处理和通信的各种应用。本书希望读者有信号处理的基础（如滤波和卷积）。目标读者是本科四年级或研究生一年级的学生，一些有数字信号处理、傅里叶分析、线性代数背景知识的人也可阅读。本书可作为工程师、相关领域学生、工业界和学术界研究人员的参考书。同时，我们相信本书同样适合自学。
采样理论是一个广泛而深奥的问题，该研究领域可以追溯到20世纪以前。因此，在单一的教材中不可能涵盖该理论所有的进展和结果。本书的主要关注点不是证明采样具有的完美数学理论，而是连贯地引出许多重要的工程概念。我们主要关注平移不变子空间的均匀采样和确定性信号，同时对非均匀采样、Gabor和小波扩展，以及由于噪声、量化、隐式采样和其他近似导致的采样误差等主要内容进行简单介绍，这些内容已经在其他相关教材或本书最后提供的参考文献中涉及。
本书结构
这本书可以大致分为三个部分：
● 介绍性部分包括目的和意义，线性代数、傅里叶分析的发展回顾，以及信号类的研究介绍（第1章至第5章）； 
● 子空间采样或平滑先验，包括非线性采样和采样率转换（第6章至第9章）； 
● 联合子空间采样，包括对压缩感知领域和欠奈奎斯特采样的详细介绍（第10章至第15章）。
第1章简要介绍采样的概念、采样的重要性及其超越传统香农奈奎斯特定理的必要性。第2章包含所需的线性代数背景知识的全面介绍，这是为了推导采样理论的数学表达式。此外，我们尽力总结本书剩余部分所需的主要数学知识。对线性代数的基本理解是学习采样理论的关键，因此本章涉及的内容是非常广泛的。第3章介绍总结了线性时不变系统和傅里叶变换等重要概念。我们不仅回顾了连续时间和离散时间傅里叶变换，还在采样信号范畴下讨论了二者之间的关系。本书中我们将会在第4章介绍全书所采用的各种信号类型，同时介绍与这样的信号集相关联的一些基本数学性质。我们重点讨论著名的香农奈奎斯特定理和其在平移不变子空间的拓展。另外，我们简要介绍Gabor和小波扩展， 并介绍联合子空间和平滑先验。本书中主要关注平移不变（SI）空间的信号模型。因此，在第5章我们将研究与这些空间相关的一些数学性质。本书的实例包括带宽受限信号、样条函数和多种类型的数字通信信号。
在第6章，我们开始研究具体的采样定理，从考虑线性采样与子空间先验开始叙述。正如我们所展示的结果，在许多情况下，基于子空间先验知识，即使输入信号不是带宽受限或采样率低于奈奎斯特速率，从给定的采样信号中完美恢复原信号都是可以实现的。我们也考虑了信号恢复过程有限制的情况，考虑采用不同准则恢复或估计原始信号。其中，我们研究著名的Papoulis广义采样定理作为其框架的一种特殊情况。在第7章，我们把这些理念拓展到平滑先验，即所确知的信号在某种意义上是平滑的。在本章中所考虑的一个有趣实例是超分辨率：通过采用采样和重构的理念从几个低分辨率图像获得高分辨率图像。第8章在假设子空间先验的条件下讨论非线性采样。我们将会惊奇地看到在不增加采样速率的情况下，即使典型的非线性导致带宽的增加，在实际中遇到的许多类型的非线性信号都能够完全被补偿。尽管采样定理关注的是连续时间信号从其离散信号中的重构，但是在第9章关于采样率转换的内容中，分析了采样在完全离散时间算法设计方面起着至关重要的作用。文中讨论了信号或图像在不同速率下的几种转换方法，这样能够有效地改变一个图像或音频文件的大小。
第10章至第15章介绍欠奈奎斯特采样和压缩感知理论。第10章介绍了联合子空间（UoS）模型，该模型是欠奈奎斯特采样范例的基础。这个模型适用于能描述的非线性信号类型，比如未知延迟和振幅的脉冲流、未知载波频率的多频带信号等。UoS模型中研究最多的实例之一是适当子空间的稀疏向量。这个模型是压缩感知理论快速发展的基础，第11章将对此进行详细介绍。其中的内容参考了M. Davenport，M. Duarte、Y. C. Eldar和G. Kutyniok合著的Compressed Sensing（剑桥出版社2012年出版）中的“压缩感知概述”一章。第12章讨论的是基本稀疏模型到块稀疏的扩展，块稀疏能描述更一般的有限维度联合。本章也将讨论在没有子空间先验知识时如何从子采样数据中获取子空间。平移不变空间联合及在不同参数设置下的低复杂度检测器的应用将在第13章介绍。多频带信号将会在第14章介绍。多频带信号的傅里叶变换由不同频段组成， 并分布在一个宽的频率范围。即使在未知载波频率和未达到与最大频率相关的高奈奎斯特速率的情况下，我们分析了各种不同方法，这些方法允许信号使用与实际占有频段成比例的欠奈奎斯特采样速率采样。随着对这些理论及概念的发展，我们也从实际需要出发，研究多频带信号欠奈奎斯特采样感知的硬件平台实现方法。第15章关注脉冲流的欠奈奎斯特采样，脉冲流将会在雷达、超声波和多径信道识别应用中使用，同时介绍了在雷达和超声波问题中的硬件原型实例。
附录涵盖本书各部分的基本参考资料。附录A总结矩阵代数相关的主要结果，附录B回顾概率论和随机过程的基本概念。
本书中有些定理没有给予详细证明。如果没有证明过程，我们提供可找到的参考文献以供读者学习。此外，本书重点强调的是解决问题的主要思路，而不是数学的严谨性。
MATLAB实现及实例
本书包含的很多实例能帮助作者进行更深入、更直观的理解，借助实例说明要点，探索多种方法和各种相关问题的折中。数值结果有时也用来说明文中没有突出的要点。数值实验都是在MATLAB标准工具箱中进行编程实验的。
在每一章的结尾提供的习题，能够进一步扩展和证明各种概念，提供练习机会。其中一些习题是用于定理的证明推导。所有习题的顺序与每章知识的介绍顺序一致。
教学
本书可作为本科高年级或研究生的教材。它源于以色列理工大学所讲的“广义采样方法”和关于本研究主题的很多导论与相关的教程。
电子工程专业的学生经常对全书所用的线性代数向量空间望而却步。我们习惯于滤波、卷积和有限维矩阵的操作。然而， 这个领域的很多结果来源于希尔伯特空间。一旦能理解这个空间，产生的结果一定会自然和简单。正如我们将看到的，合理理解这些概念也会让硬件实现变得简单和高效。因此，真正理解和欣赏线性代数是非常值得的。于是，本书从提供所需要的线性代数的基本知识开始撰写。当在以色列理工大学讲授这门课程时，在学习采样定理之前，我们用前几周的时间深入学习线性代数。在我们看来，在教学初期回顾线性代数是必要的。尽管所有工科学生都能基本掌握线性代数，但是这些课程通常都是从矩阵的角度讲解的。在这里多提倡的较抽象的观点对于本书章节间的讲解是必要的，这对于学生来讲始终是全新的。
傅里叶分析这一章中的基本结果通常会被忽略。特别是，容易忽略的离散连续关系对于采样结果的得出非常关键，这一点需要引起注意。
本书旨在灵活地展示书中的其余部分。本书介绍的采样理论覆盖在全书中，本书可以用于各种课堂教学，在课堂上可以介绍主要的结果，同时依靠本书所列的填补证明、例子和应用的更多细节。另外，可以选择只学习某些子章节。
正如我们在介绍本书结构时所概述的，本书可顺理成章地分成三个部分。第一部分提供基本模块的全面概述，目的是为了理解和扩展后续知识。这些章节仅仅提供作为参考。在本课程中，大部分的材料都可以忽略，可以仅仅关注容易被学习本课程的同学忽视的必要概念。例如，在以色列理工大学讲这门课程的时候，我们将线性代数和平移不变子空间分为4学时， 其中1学时主要涉及子空间采样，2学时重点介绍平滑先验和插值方法，最后1学时关注非线性采样。剩下的六周课程关注的是压缩感知和欠奈奎斯特采样，其中，利用每一周的时间分别讲解第10章、第11章、第13章和第14章，剩下的两周将介绍第15章及其应用。
或者采用下面这种安排，一学期时长的课程可以关注第5章至第9章的核心知识，如果时间允许，可以选择性地讲解第10章至第15章的知识作为补充。这些章节的大部分内容都相互独立。
本书也可以用于较多关注压缩感知和欠奈奎斯特采样的最新研究领域的课程。在这种情况下，课程可以从简短地介绍线性代数和平移不变子空间的概念开始，然后讨论本书的最后一个单元，即详细讨论及讲解第10章至第15章。
致谢
如果没有许多人在撰写各阶段的帮助，本书是不可能完成的。在我的学术生涯中，周围有很多支持和鼓励我的朋友和同事。非常感谢我的同事，我也很喜欢与他们共事，从他们身上我学到了关于采样定理和压缩感知的诸多知识，以及更广泛的研究和教学方法。我也很感激我的朋友和家人，虽然不能与他们分享我在工程和数学上的激情和兴趣，但是他们却能提供给我充足的机会，在生活中的其他方面提醒我，给我足够的支持去继续钻研并分散我在整个工作过程中的障碍点上的注意力。
我很感谢以色列理工大学参加该课程的学生，是他们对课程笔记的反馈才慢慢演变成这本书。我的博士生Tomer Michaeli，是该课程在广义采样方法的第一个助教，并且负责本书第一部分的例子和仿真。他在本书的不同部分提供了许多新的观点和见解。真诚地感谢他为这个项目付出的时间和精力。我的几个研究生和该课程的学生在本书第二部分的例子和仿真中提供了帮助。第二部分主要关注压缩感知和欠奈奎斯特采样。特别地，我想感谢Kfir Aberman，Tanya Chernyakova， Deborah Cohen，Tomer Hammam，Etgar Israeli，Ori Kats，Saman Mousazadeh和Shahar Tsiper，因为他们都参与了这些章节例子的撰写。我还想感谢Douglas Adams，Omer BarIlan，Zvika Ben-Haim，Yuxin Chen，Kfir Cohen，Pier Luigi Dragotti，Tsvi Dvorkind，Nikolaus Hammler，Moshe Mishali，Tomer Peleg，Volker Pohl，Danny Rosenfeld，Igal Rozenberg，Andreas Tillmann和Lior Weizman，因为他们参与了很多章节的校对并提供了重要的反馈，感谢Kfir Gedalyahu，Moshe Mishali，Ronen Tur，Noam Wagner分享他们论文的MATLAB仿真。感谢现在和之前的研究生通过他们的研究结果为本书所做的贡献。在这个过程中也给我机会去向他们每个人学习。我为书中的错误和不当之处及对于任何值得注意的被省略的主题道歉。
感谢我的几位朋友和同事在早期并持续对我工作的支持。Arye Yeredor 和Weinstein激发了我在数字信号处理的最初兴趣，教会我寻找简单和直观地解释最复杂算法的价值。Al Oppenheim激发了我在采样理论上的兴趣，激发了本书所展现的采样理论的抽象的线性代数视角，感谢他多年以来的支持和他灌输给学生的研究创意和激情。几位同事支持我走进了采样理论的世界。特别感谢Michael Unser，P. P. Vaidyanathan，Akram Aldroubi，Ole Christensen，Hans Feichtinger，John Benedetto， Stephane Mallat，Abdul Jerri和Ahmed Zayed，他们欢迎我走进采样及其应用领域，帮助我完成数学教学。采样理论研究团队是很热情并受人欢迎的团体，我很荣幸能成为其中的一员。
近年来，我广泛从事于采样理论在各种各样的领域的应用研究，能与工作在各个领域的睿智且专业的同事合作我感觉很幸运。他们有巨大的灵感来源和支持， 使研究成为一个有趣的和有益的体验。特别感谢Amir Beck，Emmanuel Candes，Israel Cidon，Oren Cohen，Alex Gershman，Andrea Goldsmith，Alex Haimovich，Arye Nehorai，Guillermo Sapiro，Anna Scaglione，Moti Segev，Shlomo Shamai和Joshua Zeevi。感谢我在斯坦福大学休假时的优秀助理——统计系的Emmanuel Candes和电子工程系的Andrea Goldsmith，他们在这本书中进行了有趣、刺激和有意思的讨论。以上所提到的很多同事是我私下的好友，我们不只是分享研究的热情。我还想提一下在以色列理工大学的同事Gitti Frey，Idit Keidar，Ayellet Tal和Lihi Zelnik-Manor， 当我在家庭生活和高要求的工作生涯之间进行平衡时，他们让我的头脑保持清醒。我更感谢多年来我所有的同事，从他们身上我学到了很多研究方法，尤其是信号处理方面。在过去的十年，以色列理工大学电子工程系提供了一个令人兴奋和激励的研究和教学的环境。
2013年，我们在以色列理工大学电子工程系建立了SAMPL实验室——采样、重构、建模和处理实验室。本书中的欠奈奎斯特采样技术原型和许多其他的欠奈奎斯特采样项目都是在这个实验室中开发的。能得到有天赋的工程师的支持，我感到极其幸运。特别感谢Yoram Or-Chen， Alon Eilam， Rolf Hilgendorf， Alex Reysenson， Idan Shmuel和Eli Shoshan。如果没有Peretz Lavie（以色列理工大学校长）、Gadi Schuster（学术事务所的副主席）、Moti Segev，Joshua Zeevi，Gadi Eisenstein的支持，不可能建立这个实验室。实验室中的硬件和实验受到了合作单位美国国家仪器公司、通用电气和安捷伦科技公司的支持。我们感激并认可他们的支持和合作。非常感谢我的行政助理Sasha Azimov过去两年的帮助。
非常感谢文字编辑Lindsay Nightingale对本书细节的关注，感谢负责本书监督生产的Vania Cunha，感谢支持和监督本项目的来自剑桥大学出版社的Phil Meyler。
特别感谢我的父母，从我小时候他们就鼓励我为梦想努力，通过生活提供给我价值观念：我的母亲灌输给我生活的热情， 传递给我能量去追求目标，对于生活中的问题积极寻求解决方法；我的父亲灌输给我对知识的热爱，追求完美和卓越，给我不断的忠告和鼓舞；我的公婆把我带入到他们的家庭，并融入进去成为他们中的一员，他们以我的成就为荣。我真心地感谢我的父母和公婆对我大家庭的持续的爱和支持。
我最深的谢意和无限的爱献给我的丈夫Shalomi和孩子Yonatan，Moriah，Tal，Noa，Roei，他们也许不会读这本书，但是跟他们在一起，生活是令人兴奋和充实的。他们让我在写作编辑后能安心休息，并给我很多理由让我开心。他们无限的爱和鼓励、情感上的支持，以我为荣，这些让我的生活充满幸福，使一切付出都值得。Shalomi一直陪伴在我身边，提供给我无限的支持、有用的建议和鼓励。他给我依靠的肩膀，给我指引正确的方向和价值。他给我继续改善各个方面的灵感和动力，确保我们的家庭除工作外有丰富的价值和活动。生命旅程中，我们一直是伙伴，远超工程和研究的世界。感谢他们有耐心地和我一起迎接这本书的挑战! 我把这本书献给他们！